Чтобы правильно подобрать проверочные слова к перечисленным словам, важно определить, какая орфограмма в них вызывает сомнение. В данном случае речь идет о гласных в корне, которые могут быть безударными.
Запивать – проверочное слово: пить. Корень -пив- (от "пить").
Успевать – проверочное слово: успеть. Корень -спев- (от "успеть", "спеть").
Согревать – проверочное слово: греть. Корень -грев- (от "греть").
Вызревать – проверочное слово: зреть. Корень -зрев- (от "зреть").
Заболевать – проверочное слово: болеть. Корень -болев- (от "болеть").
Расшивать – проверочное слово: шить. Корень -шив- (от "шить").
Распевать – проверочное слово: петь. Корень -пев- (от "петь").
Издавать – проверочное слово: дать. Корень -дав- (от "дать").
Определяя проверочные слова, важно учитывать происхождение слова и общие корни. Проверочные слова помогают проверить написание гласной в безударной позиции, так как в проверочных словах эта гласная находится под ударением и четко слышится.