Давайте проведем синтаксический разбор предложения: "Языку мы учимся и должны учиться непрерывно до последних дней своей жизни."
Языку — дополнение, выраженное существительным в дательном падеже. Отвечает на вопрос "чему?".
мы — подлежащее, выраженное местоимением. Отвечает на вопрос "кто?".
учимся — сказуемое, выраженное глаголом в форме настоящего времени. Отвечает на вопрос "что делаем?".
и — сочинительный союз, соединяет однородные сказуемые "учимся" и "должны учиться".
должны учиться — составное глагольное сказуемое. "Должны" — модальный глагол, выражает необходимость действия; "учиться" — инфинитив, который показывает само действие. Отвечает на вопрос "что должны делать?".
непрерывно — обстоятельство, выраженное наречием. Отвечает на вопрос "как?".
до последних дней — обстоятельство времени, выраженное существительным "дней" с предлогом "до" и определением "последних". Отвечает на вопрос "до каких пор?".
своей жизни — дополнение, выраженное существительным "жизни" в родительном падеже и местоимением "своей", которое указывает на принадлежность. Отвечает на вопрос "чьей?".
Таким образом, предложение состоит из двух грамматических основ: "мы учимся" и "мы должны учиться", соединенных союзом "и". Каждая часть имеет свои второстепенные члены предложения, которые уточняют и дополняют основную мысль.